二元方程式

作者:陳雲飛

二元方程式

(一)概說

二元方程式必須二式聯立才能求解。例如:

4x-3y=18

4x=9y

二元方程式的解法有以下兩種:

1.代入消去法

以上式為例,將後式4x換成9y代入前式,得9y-3y=18

→6y=18→y=3。再將y=3代入任一式,得x=27/4。

2.加減消去法

3x-2y=9

x+2y=3

以上式為例,將以上兩式相加,就可以把代數y消去,得4x=12,x=3,再將x=3代入任一式,得y=0。

上式以消去y為例,但操作上也可以選擇消去x,但因兩式x數量不等,此時我們可以透過「等號左右同時乘上一定倍數」使之相等,以便執行加減消去法。本題我們單獨將下式乘以3,得出以下新的聯立式:

3x-2y=9

3x+6y=9

下式減上式消去x,可得8y=0,得y=0。

加減消去法使用上較靈活,讀者解題時要自行依聯立式來判斷,消去哪個代數求解較快速方便。

(二)推理實例求解

最典型的二元方程式求解例子就是下面的雞兔同籠問題:

雞和兔關在同一個籠子裡。雞和兔的頭加起來總共是35,而腳加起來總共是94,請問籠子裡一共有多少隻雞、多少隻兔?

推理解法步驟:

1.首先確立未知數:

本題的未知數就是雞和兔各有多少隻。所以我們先假定雞有x隻,兔有y隻。

2.其次找出關係,寫出方程式:

本題要知道關係,讀者要先具備「一隻雞有1個頭及2隻腳」、「一隻兔有1個頭及4隻腳」的基本常識。配合「雞和兔的頭加起來總共是35,而腳加起來總共是94」,可以列出如下二元聯立方程式:

x+y=35

2x+4y=94

3.用代入消去法或加減消去法求解:

(1)代入消去法:

將上式的y移至等號右側,得x=35-y代入下式得

2(35-y)+4y=94→70-2y+4y=94→2y=24,y=12

再將y=12代入上式,x=35-12=23

故知雞有23隻,兔有12隻。

加減消去法:

(2)將上式乘以2,得出以下新的聯立式:

2x+2y=70

2x+4y=94

將下式減上式消去x,得2y=24,y=12。

再代回任一式,得x=23。

以此雞兔同籠問題求解來說,使用加減消去法在計算上較代入消去法簡易快速,讀者解題時可視題目狀況靈活應用。

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