二元方程式

(一)概說

二元方程式必須二式聯立才能求解。例如：

4x-3y=18

4x=9y

二元方程式的解法有以下兩種：

1.代入消去法

以上式為例，將後式4x換成9y代入前式，得9y－3y＝18

→6y＝18→y＝3。再將y＝3代入任一式，得x＝27/4。

2.加減消去法

3x-2y=9

x+2y=3

以上式為例，將以上兩式相加，就可以把代數y消去，得4x＝12，x＝3，再將x＝3代入任一式，得y＝0。

上式以消去y為例，但操作上也可以選擇消去x，但因兩式x數量不等，此時我們可以透過「等號左右同時乘上一定倍數」使之相等，以便執行加減消去法。本題我們單獨將下式乘以3，得出以下新的聯立式：

3x-2y=9

3x+6y=9

下式減上式消去x，可得8y＝0，得y＝0。

加減消去法使用上較靈活，讀者解題時要自行依聯立式來判斷，消去哪個代數求解較快速方便。

(二)推理實例求解

最典型的二元方程式求解例子就是下面的雞兔同籠問題：

雞和兔關在同一個籠子裡。雞和兔的頭加起來總共是35，而腳加起來總共是94，請問籠子裡一共有多少隻雞、多少隻兔？

推理解法步驟：

1.首先確立未知數：

本題的未知數就是雞和兔各有多少隻。所以我們先假定雞有x隻，兔有y隻。

2.其次找出關係，寫出方程式：

本題要知道關係，讀者要先具備「一隻雞有1個頭及2隻腳」、「一隻兔有1個頭及4隻腳」的基本常識。配合「雞和兔的頭加起來總共是35，而腳加起來總共是94」，可以列出如下二元聯立方程式：

x+y=35

2x+4y=94

3.用代入消去法或加減消去法求解：

(1)代入消去法：

將上式的y移至等號右側，得x＝35－y代入下式得

2(35-y)＋4y＝94→70－2y＋4y＝94→2y=24，y=12

再將y＝12代入上式，x＝35－12＝23

故知雞有23隻，兔有12隻。

加減消去法：

(2)將上式乘以2，得出以下新的聯立式：

2x+2y=70

2x+4y=94

將下式減上式消去x，得2y＝24，y＝12。

再代回任一式，得x＝23。

以此雞兔同籠問題求解來說，使用加減消去法在計算上較代入消去法簡易快速，讀者解題時可視題目狀況靈活應用。