風險、報酬與投資

風險評估

壹、風險偏好與投資效用

一、投資人對風險的偏好程度
風險趨避者(Risk Aversion)    
1.理性的投資人
2.每增加一單位的財富，其財富的總效用「增幅」就會隨之縮小邊際效用遞減。
3.風險增加時，要求的報酬率「增幅」亦會隨之提高邊際報酬率遞增。
風險中立者(Risk Neutral)    
1.每增加一單位的財富，其財富的總效用「增幅」不變邊際效用不變。
2.風險增加時，要求的報酬率「增幅」不變邊際報酬率不變。
風險愛好者(Risk Lover)    1.每增加一單位的財富，其財富的總效用「增幅」就會隨之加大邊際效用遞增。
2.風險增加時，要求的報酬率「增幅」亦會隨之減少邊際報酬率遞減。
二、效用無異曲線（Indifference Curve）
即投資組合對投資人的效用等級，較高的效用隱含較高的報酬或較低的風險，較低的效用隱含較低的報酬或較高的風險，故無異曲線越往左上方移動，代表投資人會因報酬率增加或風險降低，而提高其投資效用。因此，若風險趨避程度較大者，則無異曲線較陡，代表每承擔一單位的風險，投資人要求的風險溢酬較高；若風險趨避程度較小者，則無異曲線較平坦，表示承擔一單位的風險，投資人要求的風險溢酬較低。

貳、報酬與風險指標

一、投資組合報酬
在投資組合中，有二種以上的資產，每一資產有各自之預期報酬率，於計算投資組合之報酬率時，便將各資產預期報酬率加權平均
投資組合預期報酬率E(Rp)＝
W1×E(R1)+W2×E(R2)+W3×E(R3)+.....+Wn×E(Rn)
∑_(i=1)^n▒〖W_i×E〗(R_1)
各資產所佔比重（權數），乘以各資產預期報酬率之後，予以加總可得。
二、投資組合風險
(一)報酬與風險之關係
1.高報酬伴隨高風險
此處的報酬為事前的預期報酬，而非已實現的實際報酬，投資人若進行風險較高的投資，則所要求的報酬也會提高。
2.風險溢酬（風險貼水）
假設投資人是理性的，若投資風險越高，則所要求的報酬率就越高，等同是給投資人承擔風險的補償，稱之為「風險溢酬」或「風險貼水」。
(二)風險評估
標準差即為用來衡量風險的單位之一。另外，變異數、變異係數，以及β值等，均為衡量風險的指標。其中
1.標準差與變異數：
σ（標準差）或σ2（變異數），代表包括所有非系統與系統風險的總風險。
(1)變異數或標準差越大，風險越高。
(2)將變異數開平方之絕對值，即為標準差。
σ^2＝∑_(t=1)^n▒〖〖[R〗_t-E(R)]〗^2/(n-1)
其中：Rt各不同期之報酬率
E(R)此投資之預期報酬率
2.β值：
系統風險，又叫市場風險，是無法分散的，以β值來表示。
(1)如何計算β係數：
β_i＝σ_iM/(σ_M^2 )＝(ρ_iM×σ_i×σ_M)/(σ_M^2 )＝(ρ_iM×σ_i)/(σ_M^2 )＝(ρ_iM×σ_i)/(σ_M^  )
其中---
σi M：i證券與市場投資組合間之共變異數。
σi M =ρi M × σi  ×σM 
σM：市場投資組合（ex.大盤指數）的標準差。
σi：i證券的標準差。
ρi M：i證券與市場投資組合間之相關係數。
(2)判斷標準：
A.    市場投資組合（ex.大盤指數）之β值，等於1。
B.    若β＞1該證券或投資組合風險大於市場風險（系統風險）；若β＜1該證券或投資組合風險小於市場風險（系統風險）。
(3)經濟意涵：
資產或投資組合報酬率變動，與市場報酬率變動的敏感度。若β=2當市場報酬率變動1%時，資產或投資組合報酬率將同向變動2%。
3.風險評估：
若有二種資產組成一投資組合，則風險值的計算：
(1)標準差：
AB兩資產組成一投資組合，變異數之計算
σp2＝(WA2 ×σA2)＋(WB2 ×σB2)＋2×WA×WB×σAB
其中：
WA與WB：各資產之投資比重
σA：A資產之標準差
σB：B資產之標準差
σAB：AB之共變異數=ρAB ×σA ×σB
ρAB：AB兩資產的相關係數
(2)投資組合β值之估算：
β係數等於其組合中所有股票之β值加權平均。
β_P＝∑_(i=1)^n▒〖W_i×β_i 〗
4.變異係數：
將報酬與風險放在一起，以便衡量出可以一目了然的結果透過＜變異係數，Coefficient of Variation;CV＞。計算方式如下：
變異係數CV＝ 標準差σ/預期報酬率μ
分子為標準差，代表風險，分母為預期報酬率變異係數代表，每賺得1單位的報酬，須承擔多少單位風險。對理性投資人來說，變異係數越低，越值得投資。假設有兩個投資方案進行選擇：
則方案一之變異係數——0.8%／40% = 0.02
方案二之變異係數——0.2%／20% = 0.01
因承擔風險相對較低，故方案二為較佳的投資選擇！

投資組合理論

壹、證券投資管理

一、主動式管理（積極管理）
(一)前提
若市場「不具效率」，則相關訊息不會完全反映在投資市場上，可利用選時或選股等積極操作來打敗市場，賺取超額報酬。
(二)選時
根據對市場之預估與判斷，投資人挑選進場時機，調整投資配置。當投資者對市場看多時，會賣出與市場連動性較低的股票，大舉買進與市場關聯性較高的股票，以增加投資報酬。
(三)選股
在選股決策中，原則就是挑選未來發展潛力較高，目前價格被低估之股票。若有任何相關之市場訊息，則投資者會多持有因特定題材而上漲的股票，減少持有因特定題材而下跌之股票！
(四)在共同基金中，積極成長型基金便屬「主動式管理」＜把籃子顧好，即使將所有的雞蛋放在同一個籃子裡，也無需擔心！＞。
二、被動式管理（消極管理）
(一)前提
若市場「具效率性」，則任何相關訊息都會完全且即時反映在投資市場上，此時應被動地追隨市場，賺取正常報酬。
(二)與市場同步
排除積極做法，規劃一與市場同步或相近的投資組合，例如指數型基金。此外，基金經理人若將資金一半的比重放在無風險資產上，另一半放在市場投資組合上，則亦屬被動式投資組合。

貳、投資組合管理（Portfolio Management）

一、單一資產報酬率之評估
(一)平均報酬率（Average Rate of Return）
1.算術平均報酬率：
若一檔股票投資10年後賣出，則10年來，平均每年獲得多少報酬率把每年報酬率加總之後除以10。
2.幾何平均報酬率：
G_i＝√(k&∏_(i=1)^k▒aij)
幾何平均報酬率 = Gi – 1
其中：aij—各期之報酬率
j—期數,一共有第1到第k期
Gi—把各期的報酬率全部乘起來之後,再開k次方！
(二)預期報酬率(Expected Rate of Return)
把未來發生某特定現象的機率也一併考慮，即為報酬率的期望值。
二、單一資產風險之評估
(一)以風險的來源區分
1.系統風險（Systematic Risk）：
造成股價下跌的原因，為諸如全球金融海嘯，以及亞洲金融風暴等事件大環境或總體性因素所形成的投資風險，稱為系統風險（Systematic Risk）或市場風險（Market Risk）。此風險是所有市場或個別單位都會碰到的，故又稱為不可分散風險（Undiversified Risk）。衡量單位，即以前述之β評估。
2.非系統風險(Nonsystem Risk)：
造成股價下跌的原因，是股票的發行公司個別因素所造成，如該財報表現不佳、公司發生集體罷工、管理階層舞弊，或公司涉及司法案件等，只要是個別公司因素，造成股價下跌的風險，便稱為非系統風險（Nonsystem Risk），又叫公司風險（Firm Specific Risk）。為了避免此風險，在進行投資時，可同時投資數檔不同的股票，分散單一股票的公司風險，故又稱為可分散風險（Diversified Risk）。
(二)以風險的衡量方法區分
1.總風險：
以標準差σ或變異數σ2來衡量。σ越大，總風險越高。
2.相對風險：
變異係數(Coefficient of Variation，CV)，即為相對風險指標，屬相對性質。變異係數越大，代表每賺取一單位的報酬，所需承擔之風險越高。
三、投資組合風險之評估
前述提到，AB兩資產組成一投資組合，變異數為
σp2＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×σAB
若擴展為投資組合風險衡量的一般式，則投資組合報酬率變異數之計算為
σ_p^2＝∑_(i=1)^n▒〖W_i^2 σ_i^2 〗+∑_(j=1)^n▒〖W_i^2 σ_i^2 〗+∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒〖w_i w_i×σ_ij 〗
其中：
σp2：投資組合報酬率之變異數
σi2：第i種證券報酬率之變異數
σj2：第j種證券報酬率之變異數
σij：第i種證券與第j種證券報酬率之共變異數。
ρij：第i種證券與第j種證券報酬率之相關係數
四、資產間的關聯程度—ρ
規劃投資組合須了解哪幾檔股票的報酬率波動是有相關的，哪些是彼此無關的，因此以相關係數ρ來判斷任兩種證券報酬率的關連程度
(一)若ρAB＝1AB兩證券的漲跌為「完全正相關」，為同向同幅度變動。
E(Rp)＝WA×E(RA)＋WB ×E(RB)
σp2＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×σAB
＝(WA2 ×σA2) + (WB2×σB2)＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB
＝(WA2 ×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×σA×σB
＝(WA xσA＋WB xσB) 2
σp＝WA ×σA＋WB×σB
(二)若ρAB＝－1AB兩證券的漲跌為「完全負相關」，為反向同幅度變動。
E(Rp)＝WA×E(RA)＋WB ×E(RB)
σp2＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×σAB
＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB
＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×(－1)×σA×σB
＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)－2×WA×WB×σA×σB
＝(WA×σA －WB×σB) 2
σp＝WA×σA －WB×σB
(三)若ρAB＝0AB兩證券的漲跌完全無關。
E(Rp)＝WA×E(RA)＋WB ×E(RB)
σp2＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×σAB
＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB
＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×0×σA×σB
＝(WA2 ×σA2)＋(WB2 ×σB2)
σp＝[(WA2 ×σA2)＋(WB2×σB2)]1/2
(四)若0＜ρAB＜1AB兩證券的漲跌為正相關，為同向變動。
(五)若－1＜ρAB＜0AB兩證券的漲跌為負相關，為反向變動。
(六)唯有在ρAB＝－1之下，投資組合風險才有可能等於0，即完全消除風險（WA×σA＝WB×σBσp＝WA×σA－WB×σB＝0），使風險完全分散。若ρAB＝1，則無法分散投資組合風險。

參、投資組合風險分散（Risks Diversification of a Portfolio）

一、假設
(一)一投資組合由n種證券構成，個別證券之權重分別為W1、W2、W3、……、Wn，同時各權重相同W1＝W2＝W3＝……＝Wn＝1/n。代表個別證券風險之標準差均相同σ1＝σ2＝σ3＝……＝σn＝σ。
(二)E(σij)為投資組合之平均共變異數
E(σ_ij )＝(∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒σ_ij )/n(n+1) ，i≠j
二、基本原理
n種證券之權重均相同，且個別變異數也都相等，若證券種類越多，則投資組合分散風險之程度也越大。
σ_p^2＝∑_(i=1)^n▒〖W_i^2 〖×σ〗_i^2 〗+∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒〖W_i 〖×W〗_j×σ_ij 〗
套用前述之假設條件後：

"σ" _"p" ^"2"  "＝n×" 〖"("  "1" /"n"  ")" 〗^"2"  "×" "σ" ^"2"  "+"  "1" /"n"  "×"  "1" /"n"  "×n×(n-1)×E(" "σ" _"ij"  ")" 
"＝"  "1" /"n"  "×" "σ" ^"2"  "+(1-"  "1" /"n"  ")×E(" "σ" _"ij"  ")" 
當n趨近無窮大時，非系統風險的部分1/n×σ^2，會趨近於0，使投資組合總風險σp2趨近於平均共變異數。因此，非系統風險可藉由證券種類數目的增加來分散，降低總風險，使總風險中，僅剩下「系統風險」。
[∵在n趨近無窮大之下，1/n→0，(1-1/n)→1，∴(1-1/n)×E(σij)→E(σij)，
σp2→E(σij)]

肆、影響風險分散的因素

一、個別證券之投資權重
高風險證券會使投資組合總風險提高，因此，若高風險證券之權重越高，則風險之分散效果就越差。
二、個別證券報酬率間之相關係數
投資組合中，若個別證券報酬率間之相關係數越小，則證券報酬率的波動，對其他證券報酬率的影響就越低，因此，對投資組合風險分散之效果就越明顯，特別是當相關係數ρ＝－1時，更能使投資組合風險完全分散(σp2＝0)，形成無風險投資組合。
三、投資組合之證券種類數量
投資組合之風險，上半部為非系統風險，下半部為系統風險。隨證券種類n的增加，非系統風險因此降低，甚至完全分散，非系統風險完全分散，稱之為風險完全分散的投資組合(Well-Diversified Portfolio)。下半部的系統風險，便無法透過多角化加以分散，即使證券種類數量增加，系統風險亦不變。
伍、最適投資組合
一、效率投資理論
效率投資，符合以下要件：
(一)相同投資報酬率下，風險最低。
(二)相同風險程度下，報酬率最高。
追求理想報酬前，要先計畫好，如何降低風險。馬可維茲（H.Markowitz）提出投資組合理論，認為非系統風險，可透過多元或多角化投資組合來加以分散。因此，投資組合的風險溢酬，主要來自「系統風險」。
上述兩個要件，可以透過馬可維茲所提出的「效率前緣」概念來解釋！
二、效率前緣線
以預期報酬率均相同的A、B、C而論，A的投資組合風險為三者最低，故A為三者中之效率投資組合。B、D、E三個投資風險相同的投資組合中，E的預期報酬率最高，故E為三者中之效率投資組合A與E均在效率前緣線上—只要出現在效率前緣線上的點，即為效率投資組合。
三、最適投資組合之決定
投資人的效率前緣線與效用無異曲線相切點，就是同時滿足投資效率及效用極大的投資組合，E點即為具備此特性的投資組合：
(一)資本市場不存在下之最適投資組合
投資人無法在資本市場上，透過借貸取得資金，則最適投資組合，便是投資人效用無異曲線與效率前緣線之相切點（如下圖）。
1.UA為A投資人之效用無異曲線A投資人對於風險之趨避程度較高（UA較陡峭），最適投資組合落在A點，即UA與效率前緣線之相切點寧可預期報酬率較低，也不願意承擔較多的投資風險σP。
2.UB為B投資人之效用無異曲線B投資人對於風險之趨避程度較低(UB較平緩)，故其最適投資組合落在B點，即UB與效率前緣線之相切點為了追求較高之預期報酬率，可承擔較多的投資風險σP。
因此，在投資者之風險趨避程度有所不同之下，便產生不同之最適投資組合，也因為投資人之風險偏好不一，而基金之經理人又無法同時滿足所有投資人偏好，所以，在財務管理的架構中，共同基金是無法存在的，然而在實務上，卻可透過不同風險屬性的共同基金，採取不同的策略，來滿足不同偏好的投資人。
(二)資本市場存在之最適投資組合
如果看準了一個投資機會，想奮力一搏，然而手上資金不足，這時不管對企業，或對個人來說，都希望有一個借貸的管道。所以資本市場線，就是假設資本市場，能以無風險利率進行借貸，投資人可透過此借貸管道，滿足所需。
1.無風險資產存在於資本市場
一般以國庫券代表無風險資產，在加入無風險資產後，效率前緣線將與無風險資產線相切，相切點即為市場投資組合。
2.資本市場線（Capital Market Line，CML）的產生
效率前緣線，與無風險資產線相切，形成新的效率前緣線（同時存在一條斜線與一條曲線），斜線即為資本市場線。
最適投資組合為投資人之「效用無異曲線」與「資本市場線」的相切處，不再是「效用無異曲線」與「效率前緣線」之相切處。如下圖之D、E兩點
介於市場組合與無風險資產間的投資組合Rf到C的這一段，投資在無風險資產與市場組合之比重，分佈於0~100%之間，即兩者之投資比重相加為1。靠近右上方之投資組合（C到E點），則投資於市場投資組合的比重，將大於100%，而無風險資產之比重將「小於0」。意即「發行無風險資產來融資，以增加市場投資組合的比重」。
D之風險趨避程度較高，E之風險趨避程度較低，故風險趨避者會先投資無風險資產，再將剩餘資金投資在市場投資組合，投資比重分佈較接近D點；反之，風險愛好者會先購買市場投資組合，甚至借錢來提高投資比重，投資比重分佈較接近E點。
資本市場線CML公式：
E(R_P) ＝ R_f  ＋(E(R_m )-R_f)/σ_m ×σ_P
E(RP)：效率投資組合之預期報酬率
σP:效率投資組合之總風險
(E(R_m )-R_f)/σ_m ：資本市場線的斜率，代表每增加一單位的市場總風險時，可獲得多少單位的市場風險溢酬，又叫做風險的價格。
假設市場投資組合之預期報酬率與報酬率變異數分別為12%與25%，有一效率投資組合，其報酬率變異數為16%，此時市場之無風險利率為2%，則該效率投資組合之報酬率為
σm2＝25%，σm＝0.5
σP2＝16%，σP＝0.4
E(R_P) ＝2%+ (12%-2%)/0.5×0.4＝10%