貨幣時間價值

複利效果

壹、複利與折現

複利次數或折現次數的多寡，會直接影響現值與終值的大小次數越多，複利或折現效果越大。
一、利率相同，複利（折現）次數不同
(一)每年複利（折現）一次：
複利因子(1+ i)n，折現因子 1 / (1+ i)n = (1+ i)-n，若每年複利（折現）一次，則終值與現值分別為FVn = PVn (1+ i)n以及PVn = FVn (1+ i)-n。
(二)每年複利（折現）m次：
複利因子(1+ i/m)mxn，折現因子 1 / (1+ i/m)m×n =  (1+ i/m)-m×n，若每年複利（折現）m次，則終值與現值分別為FVn = PVn (1+ i/m)m×n以及PVn = FVn (1+ i/m)-mxn。
二、連續複利（折現）
若一年複利無數次，則複利因子為(ei)n= ei×n，同樣若一年折現無數次，則折現因子為(ei)-n= e-i×n。
 e = 2.718282

貳、七二法則

計算財富倍增所需時間的簡單算式。以72為分子，投資報酬率（利率）為分母，兩者相除之所得，便為財富倍增所需的時間。若某乙計畫投資一百萬於一共同基金上，平均年報酬為18%，則須經過多久的時間，一百萬才會變成兩百萬?根據七二法則，72÷18=4，亦即投資報酬率為18%之下，某乙的資產可從一百萬變成兩百萬，需要4年的時間。依此類推，若投資的基金年平均報酬為9%時，則需要8年的時間，方可從一百萬變成兩百萬。

參、有效年利率

「名目利率」與「實質利率」之差異：
名目利率＝實質利率＋通貨膨脹率（物價上漲率）
名目年利率(Annual Percentage Rate，APR)為單利計算之年利率，無論一年中計息幾次，名目利率始終為i。有效年利率（Effective Annual Rate Rate，EAR）為複利計算之年利率，複利之次數與有效年利率間，呈正向關係。
有效年利率=〖(1＋i/m)〗^m－1
連續複利之有效年利率：
有效年利率＝ei－1

現值與終值基本概念

假設目前手上有5萬元現金，存一年期，利率為固定3%的定期存款，則一年後，能夠領回的本利和為：
50,000 + 50,000×3%
＝50,000 × ( 1 + 3% ) 
＝51,500
目前的這50,000元，就是這筆存款的現值（Present Value，PV現在的價值），而51,500則為這筆存款的終值（Future Value,FV未來的價值）。因此：
FVn＝PVn ×(1＋i)n
PVn＝(FV_n)/〖(1+i)〗^n ＝FVn ×(1＋i)-n＝FVn ×PVIFi,n
其中i＝利率，n＝年數或期數，1/〖(1+i)〗^n 或是(1+ i)-n則稱之為「現值因子」—PVIFi,n
反之，在FV＝PV×(1＋i)n算式中，(1＋i)n即稱之為「終值因子」—FVIFi,n

壹、現值

使未來之現金流量最大，為財務管理的目標之一。把未來的現金流量，轉換為現在的價值，稱之為折現。在前述計算式中，i為折現率(Discount Rate)，亦可視為投資報酬率，亦即投資的機會成本，而n為期數。當期數不變，折現率越高時，折現因子便越小，求出之現值亦越小，而當折現率不變，期數n越長時，折現因子便越小，求出之現值亦越小。再者，風險高低亦會反映在折現率上，若風險越高，則折現率越大。因此，基於現值的概念，可歸納出以下一個概念：今天的1元，永遠大於明天的1元。安全的1元，永遠大於有風險的1元。

貳、終值

資金在經過n期後的價值，即為第n期終了時的未來值:
FVn = PVn ×(1＋i)n = PVn ×FVIFi,n
當期數固定時，若折現率越高，則終值因子越大。而當折現率固定時，若期數越長，則終值因子越大。

年金現值與終值基本概念

壹、年金現值

一、普通年金現值(Ordinary Annuity Present Value)
(一)定義
又名為遞延年金(Deferred Annuity)，即每期期末之固定金額給付。普通年金現值之計算，便是將每期期末之固定給付金額，折算為現在的價值後，再全數加總，如此即為年金現值。
PV＝PMT×〖(1/(1+i))〗^1＋PMT×〖(1/(1+i))〗^2＋PMT〖(1/(1+i))〗^3＋PMT×〖(1/(1+i))〗^4
＋................＋PMT×〖(1/(1+i))〗^n
＝PMT [〖(1/(1+i))〗^1＋〖(1/(1+i))〗^2＋〖(1/(1+i))〗^3＋〖(1/(1+i))〗^4＋................+〖(1/(1+i))〗^n]
＝PMT [ 1/i－1/〖i(1+i)〗^n  ] = PMT [(1-〖(1+i)〗^(-n))/i]
＝PMT×(PVIFAi,n)
 PMT=每期期末定期給付，PVIFAi,n即為年金現值因子。
(二)特性
在其他條件不變下，折現率i越大，則年金現值因子越小。若折現率固定，而期數越長者，則年金現值因子越大。若定期給付越大，則年金現值越大。
二、期初年金現值
定期給付之時點為期初，而非期末，又叫做「到期年金」（Annuity-Due）。由於該年金之定期給付時點為期初，因此年金現值會比普通年金現值少折現一次。故期初年金現值與普通年金現值兩者間的關係：
PV期初年金=PV普通年金×(1＋i)=PMT×(PVIFAi,n)×(1＋i)
三、永續年金現值
永續年金(Perpetuity)代表每期期末均可持續獲得給付，無期限之約束，一直到永遠，即期數n為無限大∞。
PV永續年金＝PMT〖(1/(1+i))〗^1＋PMT〖(1/(1+i))〗^2＋PMT〖(1/(1+i))〗^3＋PMT〖(1/(1+i))〗^4
＋................＋PMT〖(1/(1+i))〗^∞
＝PMT( 1/i  )＝PMT/i

貳、年金終值

一、普通年金終值（Ordinary Annuity Future Value）

(一)定義
普通年金終值之計算，便是將每期期末之固定給付金額，換算為將來到第n期的價值後，再全數加總，如此即為年金終值。
FVn ＝PMT (1＋i)0＋PMT (1＋i)1＋………+PMT (1＋i)n-1
＝PMT [  ((1+i)^n-1)/i  ]=PMT×(FVIFAi,n)
(二)特性
在其他條件不變下，i越大，則年金終值因子越大。若i固定，而期數越長者，則年金終值因子越大。若定期給付越大，則年金終值越大。
二、期初年金終值
由於該年金之定期給付時點為期初，因此年金終值會比普通年金終值多複利一次。因此，期初年金終值與普通年金終值間的關係式，可表示成：
FV期初年金=FV普通年金×(1＋i)= PMT×(FVIFAi,n)×(1＋i)