投資組合概論

風險評估

風險偏好與投資效用

一、投資人對風險的偏好程度
風險趨避者
(Risk Aversion)    1.理性的投資人
2.每增加一單位的財富，其財富的總效用「增幅」就會隨之縮小邊際效用遞減。
3.風險增加時，要求的報酬率「增幅」亦會隨之提高邊際報酬率遞增。
風險中立者
(Risk Neutral)    1.每增加一單位的財富，其財富的總效用「增幅」不變邊際效用不變。
2.風險增加時，要求的報酬率「增幅」不變邊際報酬率不變。
風險愛好者
(Risk Lover)    1.每增加一單位的財富，其財富的總效用「增幅」就會隨之加大邊際效用遞增。
2.風險增加時，要求的報酬率「增幅」亦會隨之減少邊際報酬率遞減。
二、效用無異曲線(Indifference Curve)
即投資組合對投資人的效用等級，較高的效用隱含較高的報酬或較低的風險，較低的效用隱含較低的報酬或較高的風險，故無異曲線越往左上方移動，代表投資人會因報酬率增加或風險降低，而提高其投資效用。因此，若風險趨避程度較大者，則無異曲線較陡，代表每承擔一單位的風險，投資人要求的風險溢酬較高；若風險趨避程度較小者，則無異曲線較平坦，表示承擔一單位的風險，投資人要求的風險溢酬較低。

報酬與風險指標

投資組合報酬
在投資組合中，有二種以上的資產，每一資產有各自之預期報酬率，於計算投資組合之報酬率時，便將各資產預期報酬率加權平均
投資組合預期報酬率E(Rp)＝W1×E(R1)＋W2×E(R2)＋W3×E(R3)＋......＋Wn×E(Rn)
∑_(i=1)^n▒〖W_i×E〗(R_1)
各資產所佔比重（權數），乘以各資產預期報酬率之後，予以加總可得。

投資組合風險

報酬與風險之關係：
高報酬伴隨高風險    此處的報酬為事前的預期報酬，而非已實現的實際報酬，投資人若進行風險較高的投資，則所要求的報酬也會提高。
風險溢酬（風險貼水）    假設投資人是理性的，若投資風險越高，則所要求的報酬率就越高，等同是給投資人承擔風險的補償，稱之為「風險溢酬」或「風險貼水」。
風險評估：
標準差即為用來衡量風險的單位之一。另外，變異數、變異係數，以及β值等，均為衡量風險的指標。其中
標準差與變異數：
σ（標準差）或σ2（變異數），代表包括所有非系統與系統風險的總風險。
變異數或標準差越大，風險越高。
將變異數開平方之絕對值，即為標準差。
σ^2＝∑_(t=1)^n▒〖〖[R〗_t-E(R)]〗^2/(n-1)
其中：Rt各不同期之報酬率
E(R)此投資之預期報酬率
 β值：
系統風險，又叫市場風險，是無法分散的，以β值來表示。
如何計算β係數：
β_i＝σ_iM/(σ_M^2 )＝(ρ_iM×σ_i×σ_M)/(σ_M^2 )＝(ρ_iM×σ_i)/(σ_M^2 )＝(ρ_iM×σ_i)/(σ_M^  )
其中
σiM：i證券與市場投資組合間之共變異數。
σiM =ρiM×σi×σM
σM：市場投資組合（例如：大盤指數）的標準差。
σi：i證券的標準差。
ρiM：i證券與市場投資組合間之相關係數。
判斷標準：
市場投資組合（如大盤指數）之β值，等於1。
若β>1該證券或投資組合風險大於市場風險（系統風險）；若β<1該證券或投資組合風險小於市場風險（系統風險）。
經濟意涵：
資產或投資組合報酬率變動，與市場報酬率變動的敏感度。若β=2當市場報酬率變動1%時，資產或投資組合報酬率將同向變動2%。
風險評估：
若有二種資產組成一投資組合，則風險值的計算
標準差：
AB兩資產組成一投資組合，變異數之計算
σp2 ＝ (WA2 ×σA2) + (WB2 ×σB2) ＋2 × WA × WB ×σAB
其中：
WA與WB：各資產之投資比重
σA：A資產之標準差
σB：B資產之標準差
σAB：AB之共變異數=ρAB ×σA ×σB
ρAB：AB兩資產的相關係數
投資組合β值之估算：
β係數等於其組合中所有股票之β值加權平均。
β_P＝∑_(i=1)^n▒〖W_i×β_i 〗
變異係數：
將報酬與風險放在一起，以便衡量出可以一目了然的結果透過＜變異係數，Coefficient of Variation；CV＞。計算方式如下：
變異係數CV＝標準差σ/預期報酬率μ
分子為標準差，代表風險，分母為預期報酬率變異係數代表，每賺得1單位的報酬，須承擔多少單位風險。對理性投資人來說，變異係數越低，越值得投資。假設有兩個投資方案進行選擇：
則方案一之變異係數——0.8%／40% = 0.02
方案二之變異係數——0.2%／20% = 0.01
因承擔風險相對較低，故方案二為較佳的投資選擇！

投資組合理論
  

證券投資管理

主動式管理（積極管理）
前提    若市場「不具效率」，則相關訊息不會完全反映，可利用選時或選股等積極操作來賺取超額報酬。
選時    根據對市場之預估與判斷，投資人挑選進場與出場時機，調整投資配置。
選股    挑選未來發展潛力較高，目前價格被低估之股票。若有任何相關之市場訊息，則投資者會多持有因特定題材而上漲的股票。
範例    在共同基金中，積極成長型基金便屬「主動式管理」把籃子顧好，即使將所有的雞蛋放在同一個籃子裡，也無需擔心！
被動式管理（消極管理）
前提    若市場「具效率性」，則任何相關訊息都會完全且即時反映在投資市場上，此時應被動地追隨市場，賺取正常報酬。
與市場同步    1.排除積極做法，規劃一與市場同步或相近的投資組合，例如指數型基金。
2.基金經理人若將資金一半的比重放在無風險資產上，另一半放在市場投資組合上，則亦屬被動式投資組合。

投資組合管理(Portfolio Management)

單一資產報酬率之評估
平均報酬率(Average Rate of Return)
平均報酬率
(Average Rate of Return)    算術平均報酬率：
若一檔股票投資10年後賣出，則10年來，平均每年獲得多少報酬率把每年報酬率加總之後除以10。
幾何平均報酬率：
G_i＝√(k&∏_(i=1)^k▒aij)
幾何平均報酬率 = Gi – 1
其中
aij：各期之報酬率
j：期數，一共有第1到第k期
Gi：把各期的報酬率全相乘後再開k次方
預期報酬率
(Expected Rate of Return)    把未來發生某特定現象的機率也一併考慮，即為報酬率的期望值。
單一資產風險之評估
以風險的來源區分：
系統風險(Systematic Risk)    造成股價下跌的原因，為諸如全球金融海嘯、亞洲金融風暴等總體性因素所形成之風險，又叫做市場風險(Market Risk)。
非系統風險(Nonsystem Risk)    只要是個別公司因素，造成股價下跌的風險，便稱為非系統風險，又叫公司風險(Firm Specific Risk) ，可透過多元投資加以分散，故又稱為可分散風險(Diversified Risk)。
以風險的衡量方法區分：
總風險    以標準差σ或變異數σ2來衡量。σ越大，總風險越高。
相對風險    變異係數(Coefficient of Variation，CV)，代表每賺取一單位的報酬，所需承擔之風險越高。
投資組合風險之評估
前述提到，AB兩資產組成一投資組合，變異數為
σp2 = (WA2 ×σA2) + (WB2 ×σB2) + 2 × WA × WB ×σAB
若擴展為投資組合風險衡量的一般式，則投資組合報酬率變異數之計算為：
σ_p^2＝∑_(i=1)^n▒〖W_i^2 σ_i^2 〗+∑_(j=1)^n▒〖W_i^2 σ_i^2 〗+∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒〖w_i w_i×σ_ij 〗
σij＝ρij×σi×σj
其中
σp2：投資組合報酬率之變異數
σi2：第i種證券報酬率之變異數
σj2：第j種證券報酬率之變異數
σij：第i種證券與第j種證券報酬率之共變異數。
ρij：第i種證券與第j種證券報酬率之相關係數
 
資產間的關聯程度—ρ
規劃投資組合須了解哪幾檔股票的報酬率波動是有相關的，哪些是彼此無關的，因此以相關係數ρ來判斷任兩種證券報酬率的關連程度
ρAB＝1    AB兩證券的漲跌為「完全正相關」，為同向同幅度變動：
E(Rp)＝WA×E(RA)＋WB ×E(RB)
σp2＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×σAB
＝(WA2 ×σA2) + (WB2×σB2)＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB
＝(WA2 ×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×σA×σB
＝(WA xσA＋WB xσB) 2
σp＝WA ×σA＋WB×σB
ρAB＝－1    AB兩證券的漲跌為「完全負相關」，為反向同幅度變動：
E(Rp)＝WA×E(RA)＋WB ×E(RB)
σp2＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×σAB
＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB
＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×(－1)×σA×σB
＝(WA×σA －WB×σB) 2
σp＝WA×σA －WB×σB
ρAB＝0    AB兩證券的漲跌完全無關：
E(Rp)＝WA×E(RA)＋WB ×E(RB)
σp2＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×σAB
＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB
＝(WA2×σA2)＋(WB2×σB2)＋2×WA×WB×0×σA×σB
＝(WA2 ×σA2)＋(WB2 ×σB2)
σp＝[(WA2 ×σA2)＋(WB2×σB2)]1/2
0＜ρAB＜1    AB兩證券的漲跌為正相關，為同向變動
－1＜ρAB＜0    AB兩證券的漲跌為負相關，為反向變動
－1＜ρAB＜1    在E(RA)＜E(RB)，且σA＜σB之下：
AB兩證券不得放空WA＋WB＝1，0＜WA＜1，0＜WB＜1
〖　 W〗_A^*＝(σ_B^2-σ_AB)/(σ_A+σ_B-2σ_AB )＝(σ_B^2-σ_AB)/(σ_A+σ_B-2ρ_AB σ_A σ_B )
〖　 W〗_B^*＝1-W_A^*
 唯有在ρAB＝－1之下，投資組合風險才有可能等於0，即完全消除風險(WA×σA＝WB×σBσp＝WA×σA－WB×σB＝0)，使風險完全分散。若ρAB＝1，則無法分散投資組合風險。

投資組合風險分散(Risks Diversification of a Portfolio)

假設    1.一投資組合n種證券之權重分別為W1、W2、W3、……、Wn，且均為 1/n個別證券風險之標準差均相同：σ1＝σ2＝……＝σn＝σ。
2.E(σij)為投資組合之平均共變異數：E(σ_ij )＝(∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒σ_ij )/n(n+1) ，i≠j。
基本原理    1.證券個別權重均為1/n，且變異數亦相等，若種類越多，則投資組合分散風險之程度也越大。
σ_p^2＝∑_(i=1)^n▒〖W_i^2 〖×σ〗_i^2 〗+∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒〖W_i 〖×W〗_j×σ_ij 〗
2.套用前述之假設條件後：
σ_p^2＝n×(1/n)^2×σ^2+1/n×1/n×n×(n－1)×E(σ_ij )
＝1/n×σ^2+(1-1/n)×E(σ_ij)
3.當n趨近無窮大時，非系統風險1/n×σ^2趨近於0，使投資組合總風險σp2趨近於平均共變異數。
4.在n趨近無窮大之下，1/n→0，(1-1/n)→1，故 (1-1/n)×E(σij)→E(σij)，σp2→E(σij)
結論    非系統風險可藉由證券種類數目的增加來分散，降低總風險，使總風險中，僅剩下「系統風險」。

影響風險分散的因素

個別證券之投資權重    高風險證券會使投資組合總風險提高，因此，若高風險證券之權重越高，則風險之分散效果就越差。
個別證券報酬率間
相關係數    個別證券報酬率間之相關係數越小，則證券報酬率的波動，對其他證券報酬率的影響就越低，特別是當相關係數ρ＝－1時，更能使投資組合風險完全分散(σp2＝0)，形成無風險投資組合。
投資組合證券種類數量     
上半部為非系統風險，下半部為系統風險。隨證券種類n的增加，非系統風險因此降低，甚至完全分散，稱之為風險完全分散的投資組合(Well-Diversified Portfolio)。下半部的系統風險，即使證券種類數量增加，亦無法加以分散。

最適投資組合

一、效率投資理論
效率投資理論
效率投資，符合以下要件：
1.相同投資報酬率下，風險最低。
2.相同風險程度下，報酬率最高。
3.馬可維茲(H.Markowitz)提出投資組合理論，認為非系統風險，可透過多元或多角化投資組合來加以分散。因此，投資組合的風險溢酬，主要來自「系統風險」。
效率前緣線
效率投資之要件，可透過馬可維茲提出的「效率前緣」概念來解釋：
以預期報酬率均相同的A、B、C而論，A的投資組合風險為三者最低，故A為三者中之效率投資組合。B、D、E三個投資風險相同的投資組合中，E的預期報酬率最高，故E為三者中之效率投資組合A與E均在效率前緣線上—只要出現在效率前緣線上的點，即為效率投資組合。
二、最適投資組合之決定
投資人的效率前緣線與效用無異曲線相切點，就是同時滿足投資效率及效用極大的投資組合，E點即為具備此特性的投資組合：
1.資本市場不存在下之最適投資組合
說明
投資人無法在資本市場上，透過借貸取得資金，則最適投資組合，便是投資人效用無異曲線與效率前緣線之相切點。
圖示
(1)UA為A投資人之效用無異曲線：
A投資人對於風險之趨避程度較高（UA較陡峭），最適投資組合落在A點，即UA與效率前緣線之相切點寧可預期報酬率較低，也不願意承擔較多的投資風險σP。
(2)UB為B投資人之效用無異曲線：
B投資人對於風險之趨避程度較低（UB較平緩），故其最適投資組合落在B點，即UB與效率前緣線之相切點為了追求較高之預期報酬率，可承擔較多的投資風險σP。
因此，在實務上，共同基金經理人必須透過不同風險屬性的共同基金，採取不同的策略，以滿足不同偏好的投資人。
2.資本市場存在之最適投資組合
無風險資產存在於
資本市場
一般以國庫券代表無風險資產，在加入無風險資產後，效率前緣線將與無風險資產線相切，相切點即為市場投資組合。
資本市場線
(Capital Market Line，CML)
效率前緣線，與無風險資產線相切，形成新的效率前緣線（同時存在一條斜線與一條曲線），斜線即為資本市場線。
最適投資組合為投資人之「效用無異曲線」與「資本市場線」的相切處，不再是「效用無異曲線」與「效率前緣線」之相切處。如下圖之D、E兩點：
介於市場組合與無風險資產間的投資組合：Rf到C，代表投資在無風險資產與市場組合之比重，分佈於0～100%之間，即兩者之投資比重相加為1。靠近右上方之投資組合（C到E點），其投資於市場投資組合的比重，將大於100%，而無風險資產之比重將「小於0」。意即「以無風險資產來融資，增加市場投資組合的比重」。
資本市場線CML公式：
E(RP) ＝ R_f＋(E(R_m )-R_f)/σ_m ×σ_P
E(RP)：效率投資組合之預期報酬率
σP：效率投資組合之總風險
(E(R_m )-R_f)/σ_m ：資本市場線的斜率，代表每增加一單位的市場總風險時，可獲得多少單位的市場風險溢酬，又叫做風險的價格。
假設市場投資組合之預期報酬率與報酬率變異數分別為12%與25%，有一效率投資組合，其報酬率變異數為16%，此時市場之無風險利率為2%，則該效率投資組合之報酬率為
σm2 ＝25%，σm＝0.5
σP2 ＝16%，σP＝0.4
E(RP) ＝2%+ (12%-2%)/0.5×0.4＝10%